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概率题库 · 选题与知识点Probability Quiz Bank · Topic Map
A hand-picked set of probability problems, all drawn from the late Alexander Bogomolny's cut-the-knot.org. The bank is organised around the conceptual core of probabilistic thinking — Bayes' rule, expectation, geometric probability, and the paradoxes that catch good intuition off guard.
每道题以下面三种形式之一呈现： choice（带诊断性干扰项的选择题）· input（自由作答数值题）· passive（题目 + 完整解答，不判分）。 点击标题进入题库作答。
Bayesian Reasoning 贝叶斯推理
- Monty Hall Problem choice 条件概率经典悖论：主持人开门提供的信息让"换门"的胜率从 1/3 跃升到 2/3。
- A Positive Diagnostic Test input Base-rate fallacy：当疾病罕见时，再准的检测呈阳性也大概率是假阳。
- Two Coins, Two Heads, One Tail choice 标准 Bayes 后验更新；练习"数据多大程度区分两个假设"的判断。
Expectation, Stopping & Random Walks 期望、停时与随机游走
- Gambler's Ruin choice 即使每局公平，资金少的一方仍易被洗白；$p(n)=n/(a+b)$ 是赌场赖以生存的事实。
- The Birthday Problem choice 对组合数 $\binom{n}{2}$ 的二次增长缺乏直觉，是为什么 23 人就够。
- Rolling Past 12 choice 停时分布的众数：13 是最可能停下的位置（不是均值，不是最大）。
- Random Wire Loops passive $n$ 根线随机配对的回路期望 = $H_{2n} - H_n/2$，对数级增长的精致结论。
Geometric Probability 几何概率
- Bertrand's Paradox passive "随机弦"不是良定义对象——三种自然采样方法给三个不同答案，是测度论登场的理由。
- A Sum of Three Uniforms input $P(x+y+z<1) = 1/6$，单位立方体里的四面体体积；推广为 $1/n!$。
- A Triangle from Three Broken Sticks passive 三段能拼三角形 ⇔ 三角不等式；按"取哪一段"切五种自然变体，从 1/2 到 1 不等。
- Midpoints on a Square Grid passive 奇偶分类把几何题压成鸽笼问题：5 个点必有两点中点也是格点。
Paradoxes & Subtle Conditioning 悖论与条件概率陷阱
- A Coin-Tossing Surprise (HT vs TT) choice 两个长度 2 的模式并不对称：HT 比 TT 先出现的概率是 3/4，不是 1/2。
- A Search for Heads passive 三种条件设定给出 1/3、1/2、5/12 三个不同答案——条件概率对"问什么"极度敏感。
- The Two-Envelopes Paradox passive "永远换信封"的诱人论证依赖 improper prior 和无穷期望——一堂关于概率公理的反面教材。
Combinatorics & Parity 组合学与奇偶性
- Three Numbered Balls in AP input 三数成等差 ⇔ 端点同奇偶；20 个球抽 3 个，答案 3/38。
- A Bag with Half the Pairs Matching input 逆问题：121 球同色概率 1/2，反推唯一解 (55, 66)——恰为相邻三角数。
- Ten Pairs of Socks in the Dark passive Jacobsthal 数 $f(n) = (2^{n+1}+(-1)^n)/3$ 在袜子题里现身，683/19!! ≈ 1e-6。
Symmetry & Invariants 对称性与不变量
- Balls of Two Colors choice 无放回抽两次，第二球白的边缘概率仍是 $w/(w+b)$——可交换性的入门例。
- A Question About the Median input 删一上一下两个不同位置的数，新中位数分别给出 $a_{50}$ 与 $a_{51}$，平均得原中位数。
- Playing with Balls of Two Colours passive 凡是颜色对称的程序，最后一球必然是 1/2，与起始 $(m,n)$ 无关。
Strategy & Information 策略与信息
- 100 Prisoners and a Light Bulb passive 单比特状态如何承载完整人口普查——Counter 策略与"信息编码"的入门。
- Guaranteed Money at the Race Track passive Dutch book / 套利原理：贝叶斯学派为"概率必须满足公理"提供的金融论证。
Statistical Aggregation 统计聚合
- Simpson's Paradox passive 分组比较与整体比较可以方向相反——mediant 不保单调性，UC Berkeley 招生案的根源。
All problems are reproduced and discussed here as educational reference.
Original problems and figures © Alexander Bogomolny · cut-the-knot.org.